随机切蛋糕
问题描述
5个兄弟,分一个蛋糕卷,假设蛋糕卷是一个[0,1]区间,完全随机的在[0,1]区间选4个点切蛋糕,然后老大拿第一段,老二拿第二段…老五拿第五段.
问,这种分蛋糕方式公平吗?
解答
其实这道题很好的展示了计算机的优势, 我们可以直接暴力模拟来拿到答案,而不需要考虑为什么.
电脑模拟
直接跑10000次,统计每段的均值和方差,然后得到答案,公平.
import numpy as np
n = 10000
m = 4
s = np.random.rand(n, m)
#print(s)
s = np.sort(s, axis=1)
#print(s)
s1 = np.insert(s, m, values=np.ones(n), axis=1)
s0 = np.insert(s, 0, values=np.zeros(n), axis=1)
t = s1 - s0
#print(t)
print(np.mean(t, axis=0))
print(np.var(t, axis=0))
解析解
没空写题解,先写答案:
\[F(x) = 1 - (1-x)^n \\ P(x) = n(1-x)^{n-1} \\ E(x) = \frac{1}{n+1} \\ E(x^2) = \frac{2}{(n+2)(n+1)} \\ Var(x) = E(x^2) - E(x)^2 = \frac{n}{(n+2)(n+1)^2}\]def solve(n):
return 1/(n+1), n/((n+2)*(n+1)*(n+1))
print(solve(m))
文档信息
- 本文作者：SryImNoob
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